这是一个非常核心的线性代数概念问题。你问的是：“”
简单来说，这是因为**“线性无关”本质上就是在问“这些向量里有没有多余的？”，而“秩”就是在数“到底有几个真正有用的向量”。
下面我用通俗的语言配合数学逻辑为你拆解这个原因：
1. 什么是“线性无关”？
想象你有三个向量
- 线性相关的意思是：其中某一个向量是“多余”的，它可以被另外两个向量“合成”出来（比如
）。这就好像你有三根绳子，但第三根其实是前两根接起来的，并没有提供新的方向。 - 线性无关的意思是：没有任何一个向量是多余的。每一个向量都提供了一个独一无二的、新的方向。谁也不能被谁替代。
2. 什么是“矩阵的秩”？
这里有一个对应的逻辑关系：
-
如果
（比如秩是 2）：
说明这三个向量里，真正独立的只有 2 个。那第 3 个向量肯定是“混”进来的，它是前两个的线性组合。既然有“混”进来的，它们就是线性相关的。 -
如果
（满秩）：
说明这三个向量里，独立的向量个数正好是 3 个。也就是说，没有一个是多余的，每一个都贡献了独立的价值。这正是线性无关的定义。
4. 结合你的题目来看
在你的第一题中，有 3 个向量
- 我们要让它们线性无关。
- 这就意味着这 3 个向量必须全部有效，不能有冗余。
- 所以，由它们组成的矩阵的秩，必须达到最大值，也就是等于向量的个数 3。
相乘的转置转置出来前后调换都加转置
某个矩阵可逆，说明它找得到另一个矩阵相乘为单位阵
线性方程组讨论解的情况
- 弄成增广矩阵
- 化行阶梯
时方程组有唯一解 - 如果最后一行常数=0 那么无解
- 如果
那么有无穷解，用基础解系表示通解
非齐次线性方程组有解就是叫相容，充要条件是
矩阵提或倍、交换都不用变，行列式要对应上数，交换要加负号
注意如果是整个矩阵乘 k 是提
其中 A 是整个矩阵
解线性非齐次方程组
- 化单位阵（主元化为 1，其他为 0）
- 对应方程组写出来，自由变量取 0，取出主元的值，得特解，主元和 0 都写上
- 再把方程组右侧常数全抹掉为 0, 称为导出组，自由变量轮流变 1, 其他自由变量为 0, 解出几组解
- 分别乘上 k1 k2 等然后加上前面那个特解就是通解