用到不定积分的地方别忘了 C
记得定积分最后代上下限时是上代减下代
偏导数
抽象复合二元函数求高阶混合偏导（链式法则）
简写记法：
重点：
所以下一步把一次导的结果的每一项都当成原来的式子用两个 u、v 分别再求导
注意：
- 第二次偏导时后面导是对 y
- 建议一步一步走，把各分部写出来再整合
例题：
隐函数求偏导
一元隐函数
二元隐函数
二元函数的连续性和可微性判断
逻辑链
定义
判断
- 代入得到该点函数值
- 沿任意路径趋近都极限相同才算极限存在
- 常用路径：
- 两条路径极限不等
极限不存在 不连续
- 常用路径：
偏导数存在判定
用定义
直接导
分段函数在分界点处必须用定义
绩满满视频
三角恒等变换
两角和差
倍角公式
降幂公式
求导公式
多元函数求极值
- 解方程组的一切实数解，即求出驻点
- 对每一个驻点
求二阶偏导
- 看
如果大于 0 则有极值，此时 A<0 有极大值，A>0 有极小值，整体小于 0 没有极值，等于 0 不确定
积分区域与圆有关的二重积分
- 画出积分区域
- 转换极坐标
- 根据图写出积分上下限
如果圆偏移了，r 的上下界就要小心对待，不是固定值
Example
积分区域对称的二重积分
如果积分区域 D 关于 x 轴对称，那么如果被积函数关于 y 是奇函数积分就得 0
如果积分区域 D 关于 y 轴对称，那么如果被积函数关于 x 是奇函数积分就得 0
如果积分区域 D 关于 y=x 对称，称为轮换对称
是 x、y 一起交换，不是说 x=y 可以局部随便换
圆形比较特殊即关于 x 轴对称也关于 y 轴对称，二重积分很容易等于 0
等容易看出是奇函数，但xy关于x或者关于y也是奇函数
第一类曲面积分
求体积计算
微分方程
可分离变量
分离变量把 x,y 拆到等号两边
然后两边积分
不定积分记得带 C
齐次微分方程
类似以下的，各项次数相同
- 整理出
这样的复合部分
- 令
，则 ，对这个式子导，得到
- 取代到方程
- 让后就可分离变量做
- 换元记得代回
一阶线性微分方程
符合
公式
如果是齐次的
则
常系数齐次方程
含
- 将 y 变成 r,y 有几 ’ r 就是几次
- 解这个关于 r 的方程（因式分解）
- 参考表判断解的情况，写出对应的通解
| 特征方程的根 | 通解 |
|---|---|
| 单实根 | |
| 一对单复根 | |
| k 重实根 | |
| 实根对照 |
| 单实根 | |
|---|---|
| 二重实根 | |
| 三重实根 | |
- 以上通解求和得到答案
Tips
二重积分的几何意义
积分区域就是底面，被积函数就是上顶面
就是上半球
对称变成 0 的那个是被积函数为奇对应的那个条件，如果是常数的话就是底乘高